Построим в H² неевклидову окружность с заданными центром A и неевклидовым радиусом AB.

Обозначим через A' точку, симметричную A относительно оси x в смысле евклидовой геометрии, а через S – евклидову окружность с центром A' и радиусом AA' (см. рисунок ниже).

Инверсия f относительно окружности S переводит H² в открытый круг с границей x', где x' = f(x) – окружность с центром в A и радиусом AA'. Неевклидовы прямые, проходящие через A (t – одна из таких прямых, t' = f(t)), переводятся инверсией f в евклидовы диаметры окружности x'. Обозначим через w' евклидову окружность с центром в A и радиусом AB', B' = f(B). В силу конформности инверсии окружность w = f(w') ортогональна к неевклидовым прямым, проходящим через A. Точка A является неевклидовым центром для w, евклидов же центр E для w совпадает с точкой пересечения евклидовых серединных перпендикуляров евклидовых отрезков BC и CD, где C и D – точки пересечения окружностей w' и S.

Таким образом, искомая неевклидова окружность w в H² построена, она изображается, как показано, евклидовой окружностью в H², но, с точки зрения евклидовой геометрии, ее неевклидов центр оказывается смещенным к оси x.